Topoloji/Kapanış

Küme İşlemleri ve Kapanış

Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde $X$ bir topolojik uzayı, $A$ ve $B$, $X$'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler $\alpha \in J$'ler üzerinden alınmaktadır.

Lemma : $A\subset B$ ise $\overline{A}\subset \overline{B}$ .

İspat : Her zaman $B\subset \overline{B}$ olduğunu biliyoruz. $A\subset B$ olduğundan $A\subset \overline{B}$ 'dir. $\overline{A}$, $A$ 'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi, $\overline{B}$ da $A$ 'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan $\overline{A}\subset \overline{B}$ . ■

Lemma : $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ .

İspat : $A\subset A\cup B$, $B\subset A\cup B$ olduğundan $\overline{A}\subset \overline{A\cup B}$ ve $\overline{B}\subset \overline{A\cup B}$ $\Rightarrow$ $\overline{A}\cup \overline{B}\subset \overline{A\cup B}$ .......(i)

Diğer taraftan $A\subset \overline{A}$, $B\subset barB$ olduğundan $A\cup B\subset \overline{A}\cup \overline{B}$. İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan $\overline{A}\cup \overline{B}$, $A\cup B$ kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla $A\cup B\subset \overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$ .......(ii)

(i) ve (ii)'den $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}</m{a}^{‴}Lemma{:}^{‴}<math>\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ $X$ 'in alt kümelerinin bir ailesi ise $\overline{\bigcup A_{\alpha }}\supset \bigcup \overline{A_{\alpha }}$ .

İspat : $\mathrm{\forall }\alpha \in J$ için $A_{\alpha }\subset \bigcup A_{\alpha }$ olduğundan $\mathrm{\forall }\alpha \in J$ için $\overline{A_{\alpha }}\subset \overline{\bigcup A_{\alpha }}$ $$ $\Rightarrow$ $\bigcup \overline{A_{\alpha }}\subset \overline{\bigcup A_{\alpha }}$ ■

Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.

Örnek : $ℝ$'de alt kümelerin $𝒜=\{\{x\}|x\in \mathbb{Q}\}$ ailesini ele alalım.

$\bigcup _{x\in \mathbb{Q}}\overline{\{x\}}=\bigcup _{x\in \mathbb{Q}}\{x\}=\mathbb{Q}$

$\overline{\bigcup _{x\in \mathbb{Q}}\{x\}}=\bar{\mathbb{Q}}=ℝ$

Lemma : $\overline{A\cap B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}$ .

İspat : $A\cap B\subset A$, $A\cap B\subset B$ olduğundan $\overline{A\cap B}\subset \overline{A}$ ve $\overline{A\cap B}\subset \overline{B}$ $\Rightarrow$ $\overline{A\cap B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}$ ■

Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.

Örnek : $A=\mathbb{Q}$, $B={\mathbb{Q}}^c$ alalım. Bu durumda;

$\overline{\mathbb{Q}\cap {\mathbb{Q}}^c}$ = $\bar{\varnothing }=\varnothing$

$\bar{\mathbb{Q}}\cap \overline{{\mathbb{Q}}^c}$ = $ℝ\cap ℝ=ℝ$

Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.

Lemma : $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ $X$ 'in alt kümelerinin bir ailesi ise $\overline{\bigcap A_{\alpha }}\subset \bigcap \overline{A_{\alpha }}$ .

İspat : $\mathrm{\forall }\alpha \in J$ için $\bigcap A_{\alpha }\subset A_{\alpha }$ olduğundan $\mathrm{\forall }\alpha \in J$ için $\overline{\bigcap A_{\alpha }}\subset \overline{A_{\alpha }}$ $$ $\Rightarrow$ $\overline{\bigcap A_{\alpha }}\subset \bigcap \overline{A_{\alpha }}$ ■

Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.

Örnek : $ℝ$ üzerindeki alışılmış topolojide,

$\overline{\bigcap _{n\in \mathbb{N}}(0,\frac{1}{n})}=\bar{\varnothing }=\varnothing$

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\overline{(0,\frac{1}{n})}=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}[0,\frac{1}{n}]=\{0\}\ne \varnothing$

$$ Şablon:KitapKat