Topoloji/Süreklilik

Çözümlü Alıştırmalar

SORU : (a) Tanım kümesi üzerinde ayrık topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

(b) Değer kümesi üzerinde indiskret topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

Çözüm : (a) $X$ ve $Y$ topolojik uzay, $f:X\to Y$ bir fonksiyon olsun. $X$ üzerindeki topolojinin ayrık topoloji olduğunu düşünelim.

$G\subset Y$, $Y$'de bir açık küme olsun. Bu durumda $f^{-1}[G]\subset X$ 'tir. $X$ üzerinde ayrık topoloji bulunduğundan $X$'in her alt kümesi açıktır ve buradan $f^{-1}[G]$ kümesi de $X$'te açıktır ve böylece $f$ sürekli olur.

(b) $X$ ve $Y$ topolojik uzay, $f:X\to Y$ bir fonksiyon olsun ve $Y$ üzerindeki topolojinin indiskret topoloji olduğunu düşünelim. Bu durumda $Y$'deki açık kümeler yalnızca $Y$ ve $\varnothing$'dir. Üstelik $f:X\to Y$ olduğundan,

$f^{-1}[Y]=X$

$f^{-1}[\varnothing ]=\varnothing$

olur. $X$ üzerindeki topoloji ne olursa olsun $X$ ve $\varnothing$ açık kümeler olacaklarından $Y$'den alınan her bir açığın ters görüntüsü $X$'te açıktır ve böylece $f$ sürekli bir fonksiyondur.

$$ Şablon:KitapKat