Lise Matematiği/Kümeler

Küme kelimesinin bir tanımı yoktur ama "Nesneler topluluğu" olarak bilinir. Küme konuları 4'e ayrılır.

Kümelerde Temel Kavramlar

Örnek 1

Asal Sayılar kümesi sonsuz bir küme midir?

Örnek 2

9 elemanlı bir kümenin 3, 4 ve 6 elemanlı alt küme sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm 1

Evet, çünkü doğal sayılar sonsuz olduğu için asal sayılar da sayı değerinin yüksek olmasına rağmen sonsuzdur.

Çözüm 2

$\frac{9!}{(9-3!)+3!}+\frac{9!}{(9-4!)+4!}+\frac{9!}{(9-6!)+6!}=\frac{7*8*9}{6}+\frac{6*7*8*9}{24}+\frac{7*8*9}{6}=84+126+84=294$

Kümelerde İşlemler

Örnek 1

A,B ve C kümeleri evrensel kümenin 3 alt kümesidir.

• s(A)=22
• s(A')=46
• s(B')=18
• s(C)=37

s(A-B')≠0 ise A∩B∩C nin olası eleman sayıları kümesi kaç elemanlıdır?

Örnek 2

A={x| x≥|-6| xɛR} B={x| x<22 x=2k xɛR} olduğuna göre A∩B ortak özellik yöntemiyle nasıl gösterilir.

Çözüm 1

s(E)=22+46=68

s(B)=68-18=50

A-B'=A∩B

A∩B en az 1, en fazla 50 olabilir. A∩B∩C ise en az 0 en fazla 37 olabilir. Bu durumda 38 farklı ihtimal vardır.

Çözüm 2

|-6|=6 A={7,8,9,10,...} B={...,14,16,18,20,22} A∩B={8,10,12,14,16,18,20,22}={x| 7>x<23 x=2k xɛR}

Kartezyen Çarpım

Örnek 1

$(4x,22)=(52,5.5y)$ olduğuna göre $\frac{x}{y}=?$

Örnek 2

$A=1,2,3,4$ ve $B=2,3,5,7$ ise (AXB)∩(BXA)

Çözüm 1

$5,5y=22$
$y=4$
$4x=52$
$x=13$
$\frac{13}{4}=3,25$

Çözüm 2

AXB={(1,2),(1,3),(1,5),(1,7),(2,2),(2,3),(2,5),(2,7),(3,2),(3,3),(3,5),(3,7),(4,2),(4,3),(4,5),(4,7)}
BXA={(2,1),(3,1),(5,1),(7,1),(2,2),(3,2),(5,2),(7,2),(2,3),(3,3),(5,3),(7,3),(2,4),(3,4),(5,4),(7,4)}
(AXB)∩(BXA)={(2,2),(3,2),(2,3),(3,3)}

Küme Problemleri

Örnek 1

47 kişilik bir turist kafilesi vardır. Bu turistlerden 15 kişi İngilizce, 22 kişi Almanca, 18 kişi Fransızca, 6 kişi İngilizce ve Almanca, 4 kişi İngilizce ve Fransızca ve 3 kişi Almanca ve Fransızca konuşmaktadır. Kaç kişi 3 dil birden konuşmaktadır.

Çözüm 1

s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)=s(AUBUC)
$15+22+18-6-4-3+x=47$
$x=5$