Matematiksel İspat/Küme Teorisine Giriş sayfasının kaynağını görüntüle

<noinclude>{{nav}}</noinclude>
Kümlere matematikte sık sık kullanılır ve {{colored em|küme teorisi}} kümeleri inceler. Küme teorisi biçimsel olarak açıklanabileceği gibi {{colored em|Zermelo-Fraenkel küme teorisi}} ve benzeri aksiyomatik küme teorileri de vardır. Bu kitap biçimsel açıklamaya girmeyecektir.

Küme teorisini biçimsel olarak tartışmayacak olsak da kümeler ile ilgili bazı temel konuları anlamamız elzemdir. Bu bölüm bununla ilgilenecek.

==Küme nedir?==
{{colored em|Küme}}, birbirinden farklı özel nesnelerin (nesnelerin kendileri de küme olabilir) koleksiyonudur. "Özel" teriminin belirsizliği nedeniyle bu açıklama kümelerin tanımı değildir. Kümeleri ilkel kavram (daha önceden belirtilen kavramlarla belirtilmeyen kavram) olarak tanımlayabiliriz.

Kümede bulunan birbirinden farklı nesnelere {{colored em|eleman}} ({{dil|en|''element''}}) denir. Matematiksel olarak eleman <math>a</math>'nın küme <math>A</math>'da bulunduğunu <math>a\in A</math> ifadesiyle belirtiyoruz.
{{colored example|
* Tüm çoğul numaraların kümesi olarak <math>E</math>'yi düşünelim. <math>E</math> kümesi (bunlarla sınırlı kalmamakla birlikte) -2, 0 ve 4 elemanlarını içeriyor yani <math>-2,0,4\in E</math>.
* Türk alfabesinin (bir küme) elemanları Türk harfleridir.
}}

==Küme tanımlama yolları==
Bir kümeyi net bir şekilde (elemanların o kümeye ait olduğunun net olarak bilindiği şekilde) tanımlamanın birkaç yolu vardır.

Eğer bir küme az sayıda elemandan oluşuyorsa o halde {{renkli em|listeleme yöntemi}} verimli çalışabilir. Listeleme yönteminde kümenin elemanları süslü parantez içinde ({}) gösterilir. Bir kümede bulunan elemanların {{renkli em|sırasını}} değiştirmek kümenin kendisini {{colored em|değiştirmez}}. Örneğin <math>\{1,2\}</math> ile <math>\{2,1\}</math> kümeleri yalnızca 1 ve 2 elemanlarını içerdikleri için aynı kümeyi temsil etmektedirler. Eğer parantezler içinde temsil edilen elemanlar aynı ise elemanların sıralanışları fark etmeksizin iki gösterim de {{colored em|aynı}} kümeyi belirtmektedir. Ayrıca aynı elemanı küme içinde birden fazla kez belirtmek o kümeyi {{colored em|değiştirmez}}. Örneğin, <math>\{1,1,2,2,2\}</math> ile <math>\{1,2\}</math> eleman sayıları fark etmeksizin yalnızca 1 ile 2 elemanlarını içerdikleri için aynı kümeyi belirtmektedirler. Eğer bir küme hiçbir eleman içermiyorsa o kümeye boş küme denir ve <math>\{\}</math> veya <math>\varnothing</math> şeklinde belirtilebilir.

Kümeleri tanımlamanın başka bir yolu da {{colored em|kelimelerdir}}. Örneğin 10'dan küçük tüm asal sayıları içeren <math>S</math> kümesini düşünün. Bu kümeyi harf yerine listeleme yöntemiyle belirtseydik <math>\{2,3,5,7\}</math> olarak belirtirdik.

Küme tanımlamanın bir diğer üçüncü yolu ise {{colored em|küme inşaa kavramıdır}}. Bu yöntem çok fazla eleman içeren kümelerde etkilidir. Bu küme tanımlama yöntemini oluşturan {{colored em|üç}} parça aşağıda belirtilmiştir:
<math display=block>\underbrace{\{}_{\text{The set of}}\underbrace{x}_{\text{all elements }x}\underbrace{:}_{\text{such that}}\underbrace{P(x)}_{\text{the property }P(x)\text{ is satisfied}}\}</math>

Tahmin edilebileceği üzere iki küme ancak ve ancak aynı elemanlara sahip oldukları zaman birbirlerine {{colored em|eşittir}}. Aynı şekilde iki küme <math>A</math> ve <math>B</math> kümeleri ancak <math>A</math>'nın her elemanı <math>B</math>'nin, <math>B</math>'nin her elemanı <math>A</math>'nın ise birbirlerine eşittir. Bu durum bir ''aksiyom'' veya betimleme olarak değerlendirilebilir. Eğer <math>A</math> ve <math>B</math> kümeleri birbirlerine eşitse bu durumu <math>A=B</math> ifadesiyle belirtiriz. Eğer birbirlerine eşit değillerse <math>A\ne B</math> ifadesini kullanırız.

Bu kitapta bir eşitlik çözdüğümüz zaman aksi belirtilmediği sürece o eşitliğin yalnızca {{colored em|gerçek}} çözümlerini kabul ediyoruz.

{{colored example|
* <math>\{x:3x+2=0\}=\{-2/3\}</math>. 
* <math>\{y:y\text{ pozitif bir tekil sayıdır}\}=\{1,3,5,\ldots\}</math>.
* <math>\{z:z\text{ bir Latin harfidir}\}=\{a,b,c,\ldots,z,A,B,\ldots,Z\}</math>.
}}

{{renkli egzersiz|
Assume <math>a</math> and <math>b</math> are different elements. Is each of the following statement true or false?
<quiz display=simple>
{The set <math>\big\{\{\}\big\}</math> contains no elements.
|type="()"}
- True.
+ False.
|| This set contains one element, namely the empty set <math>\{\}</math>. 

{<math>\{\}=\varnothing.</math> 
|type="()"}
+ True.
|| These two sets both have no elements, and thus they contain the "same" elements.
- False.

{<math>\{1,1,2,3\}</math> is a set.
|type="()"}
+ True.
|| Even if the element "1" is listed two times, it still represents a set (which can also be denoted by <math>\{1,2,3\}</math>).
- False.

{<math>\{x:0<x<2\text{ and }x^2=4\}=\{2\}</math>. 
|type="()"}
- True.
+ False.
|| Solving <math>x^2=4</math>, we get <math>x=\pm 2</math>, but both of them are not between 0 and 2 exclusively, so no <math>x</math> satisfies the given property. As a result, the set on the RHS should be an empty set. 
}

{<math>\{a,b,b\}\in\{\{a,b\},a,b,b\}</math>. 
|type="()"}
+ True.
|| First, <math>\{a,b,b\}=\{a,b\}</math>. Since the set <math>\{a,b\}</math> is an element of the set on RHS, this is true.
- False.

{<math>\{\{a\},\{a\}\}\in\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}</math>.
|type="()"}
- True.
+ False.
|| First, <math>\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}</math>. But set <math>\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}</math> doesn't contains <math>\{\{a\}\}</math>, it only contains <math>\{a\}</math>, which is not the same.
</quiz>
}}